所有特征值的乘积等于矩阵的行列式,这个是正确的。
计算的特征多项式;求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量,其中是不全为零的任意实数。
若是的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值唯一确定。反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
三角矩阵
设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。根据定理,只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法,容易证明这个结论。
令A为n×n矩阵,若A有一行或一列包含的元素全为零,则det(A)=0;若A有两行或两列相等,则det(A)=0。这些结论容易利用余子式展开加以证明。