在过去很长一段历史中，正负概念用于表示财产和债务的贷出和借入的情况非常普遍，这样的应用从7世纪的印度到18世纪的欧拉一直在沿用。正负在加减运算上表现很完美，也很有说服力，但是涉及到乘除的情况就不好处理了。
例如财产和财产的积为财产，债务和债务的积也是财产，这简直是匪夷所思。事实上，上述例子并不恰当，因为现实中不存在财产或者债务之间积的存在。比如，我的财产和你的财产的积，算是什么东西呢？
在数学运算中，某个数乘以-1，得到的数值其绝对值不变，仅改变符号。可以理解为和-1相乘以后，数值不变，方向相反。反映在数轴上就是围绕0点，旋转180度。
在400多年前，曾进行过关于正负数相乘规则的争论。当时著名的数学家卡尔达诺主张“负负得正”这个规则是错的。而罗马数学家克拉维斯反驳道：负负得正的乘法规则无须证明。之所以我们不能理解这个规则，是由于我们认知上的贫乏，这个乘法的计算规则是正确无疑的。
卡拉维斯的观点在今天仍然是正确的。正负数的乘法规则不是用逻辑推理从其他规则中推导的。它是从无数实例中总结的结果，数学在此基础上不断发展验证。换句话说，这个规则已经被无数的实例所证明。
例如在物理学中，两个电荷之间产生作用力，相同属性的电荷互相产生排斥力，而一正一负则产生吸引力。库伦发明了库伦公式，即作用力等于两个电荷电量相乘除以电荷距离的平方。由此可见，正电荷与正电荷之间相乘产生的效果和负电荷与负电荷相乘产生效果是一样的，也就是正正得正，负负得正是同时成立的。
因为我们是这样定义整数的，我们定义整数上的乘法使得两个负整数相乘是正整数。整数是自然数除以一个等价关系（当然我们假设自然数已经定义好了），即这里等价关系是当且仅当（注意这里都是自然数），用表示所在的等价类，即整数就是所有这样的等价类的集合然后在整数上定义加法和乘法如下：这里定义加法和乘法用到了自然数上的加法和乘法（同样我们假设自然数上的加法和乘法已经定义好了），整数上的加法和乘法都是定义良好的。根据自然数的代数算律，可以证明整数是一个交换幺环，加法单位元是，乘法单位元是，的加法逆元是，记作。这样的定义的整数还不包含自然数（即自然数还不是整数），但这不是一个问题，因为存在一个canonical embedding 将自然数等同为整数的一个子集，这个canonical embedding 是因此我们不再区分和，将交互地使用它们。同样根据自然数序的性质，可以证明每个整数等于如下形式的整数(a) (b) (c) 这里是一个正的自然数。这个命题自然地使我们可以定义正整数和负整数。定义. 如果是一个正的自然数，我们把叫作正整数，叫做负整数。根据上面的命题，每个整数时正的或负的或是零，但不能同时成立。因此对于负整数和，根据整数乘法的定义根据自然数序的性质，两个正的自然数相乘还是正的自然数，所以两个负整数相乘是正整数。至于为什么要将整数的乘法定义成那样，这可以说是没有原因的。
说一下，很多东西直觉上能理解就可以，对大部分非数学系学生而言没有必要细想箇中道理。举例来说小学一年级学生学为何1＋1＝2，一般是通过实物类比去学，如苹果棃之类。若从皮亚诺公理讲起，小学生是无法听懂的。至于此题，1）直觉上理解可参考http://math.stackexchange.com/a/9942/277432）数学上理解可参考http://math.stackexchange.com/a/9940/27743最后解释一下2）中 uniqueness of inverses的含意，对实数域而言，可以视为环所以环的性质如结合律都成立。若只考虑加法则构成一阿贝尔群，而群的逆是唯一的。这就是所谓的uniqueness of inverses.
克莱因利用线段操作和矩形面积巧妙地论证了“负负得正”这一规则的合理性（注意，这不是一个证明！），这是求助于几何直观。此外，利用数轴也可以示范并合理化这一规则（注意，这也不是一个证明），只需观察任一正数乘以-1等价于将此正数在数轴上的对应点相对于原点做反射，在负方向上的对称点就是该正数乘以-1的结果。依此，两个负数相乘之所得就是两次反射的结果，必然得正。这也是求助于几何直观。至于不借助直观，只靠纯逻辑的做法，克莱因也做了初步的论述。
