我想“代数几何”这个名词既可以表示代数几何中的方法，也可以表示代数几何中的问题，只是从问题来说，代数几何本就是一个相当程度上的交叉学科，从方法上来说，对于其他学科的裨益当然也是非常多的。
对于数论，其实大量的数论问题就是代数几何（或者说，算术几何）问题，谈不上什么应用，简单的例子：利用类域论能把Weil猜想变成特征和估计，学过数论的都知道，这当然能应用在数论中，比如说Diophantine方程。
同样地，Deligne把Hecke算子改造成了代数几何形式，主要利用Eichler和Shimura的结果，这样Ramanujan-Petersson猜想就能化成Weil猜想。
以及，Mordell猜想，Faltings说过，他是一个代数几何家而不是数论家，他的主要工作是证明了Tate猜想和Shafarevich猜想，核心工作是对Z上的Abel簇的模空间进行紧化，然后利用Height的基本有限性定理证明了数域K上Abel簇的isogenous有限性定理，那么和Tate证明的有限域情况Tate猜想一样，无数个isogenous同构的“紧”性质导致Tate猜想，而对Jacobian簇的应用导致Shafarevich猜想。就算是Vojta的证明也是依赖代数几何的，其实如果问Height或者L函数是一个代数几何还是数论的工具的话，是没有结果的，同样，连形变理论也可以用在数论中，这是Mazur引入的，在Wiles证明FLT的非常重要的方法。
就像这样，代数几何当然地已经成为一个工具，对于Abel簇、代数曲线有这么多的结果，为什么不用？
对几何学，本来代数几何就是一个几何学，C上的代数几何和也可以用复几何和微分几何的方法来研究，这部分本来就是错乱的，比如说Hartshorne猜想，Mori和Yau分别用代数几何和复几何证明。真正意义上的对其他学科的启迪，大概还是要算模空间，Mumford在1965年构造了概型对作用于其上的群的商的GIT（几何不变量）理论，如果这个概型是Hilbert概型中对应亏格g曲线的，G是PGL，那么这就是亏格g曲线的模空间，同样地可以构造向量丛的模空间，他的主要工作是保证商的良好性质的Hilbert-Mumford稳定性判据，Atiyah和Bott在1983把黎曼面上向量丛的Mumford稳定与Hermitian-Yang-Mills connection联系了起来，然后就是著名的Donaldson的Kahler曲面上ASD联络和稳定向量丛的联系的文章，对数学物理影响之深远只能让未来验证了。
追答一个学科对另一个学科的影响, 似乎主要有四种方式:
1. 思想和方法的化用;
2. 拓展其它学科的范围和深度;
3. 对旧有的概念和现象给出新的阐释
代数几何与其他许多学科有密切联系，如拓扑、微分几何、复几何、分析、代数、数论等都在代数几何中有重要应用，而代数几何的发展也对其他许多学科产生了影响。在今天，代数几何的方法和结果广泛应用于其他几何、代数数论、编码、计算数学、数学物理、机械化证明等许多方面。
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