求指数函数的导数是如何推导的？

Question

如题所述

Answer 1

a^xlna

推导过程

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导数：

==>y'/y=lna

==>y'=ylna=a^xlna

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

Answer 2

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导数：

==>y'/y=lna

==>y'=ylna=a^xlna

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

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Answer 3

供参考

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Answer 4

f(x) = a^x
lnf(x) = xlna
f'(x)/f(x) = lna
f'(x) = lna . f(x)
=lna . a^x

f'(x)
=lim(h->0) [f(x+h)- f(x)]/ h
=lim(h->0) ( a^(x+h) - a^x ) /h
=lim(h->0) a^x .( a^h -1 ) /h
=lim(h->0) a^x .( lna. h ) /h
=lna. a^x追问

下面的公式看懂了，上面都三行为什么f'（x）/f（x）等于lna呢？

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Answer 5

用重要极限二