平面几何高手进 请证明：等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离

Question

如题所述

Answer 1

已知：如图,△ABC为等边三角形,圆O为其外接圆,D为弧BC上一点,连结DA,DB,DC
求证：DA=DB+DC
证明：(思路：截长补短)
在DA上找一点E,使DE=DB,连结BE
∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°
又∵∠ADB=∠ACB(同弧所对的圆周角相等)
∴∠ADB=60°
又考虑到DE=DB
∴△DBE为等边三角形(有两边相等且一个角为60°的三角形是等边三角形)
∴BE=BD,∠DBE=60°
又∵△ABC为等边三角形
∴BA=BC,∠ABC=60°
∴∠DBE=∠ABC
于是∠DBE-∠CBE=∠ABC-∠CBE,即∠ABE=∠CBD
再加上BA=BC,BE=BD,有△ABE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD(全等三角形对应边相等)
∴DA=DE+AD=DB+DC