确定ABC的值，使e^x（1+Bx+Cx^2）=1+Ax+0（x^3）

Question

答案A=1/2, B=0, C=-1/4，解答上用e^x展开的泰勒但为什么选择的e^x的展开式是1+x+x^2/2+x^3/6，展开到三次那与（1+Bx+Cx^2）相乘后不还有x的五次方这些？？而如果选择只展开到x的一次就最高才三次方，但结果明显不同？求解

Answer 1

e^x(1+bx+cx^2)-1=ax+ο(x^2)，
e^x(1+bx+cx^2)=1+ax+ο(x^2)，
x->0时
[e^x(1+bx+cx^2)-1]/x=a+ο(x)，
x->0时对上式用罗必塔法则求极限
limx->0[e^x(1+bx+cx^2)+e^x(b+2cx)]=a
limx->0[e^x(b+1)+e^x(bx+cx^2+2cx)]=a
所以b+1=a，c为任何数