向量证明四点共面由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz， 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ,整理，得
OP-OZ =n(OX-OZ)+m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四点共面。
以上是
充要条件。
2如果通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面
A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面
3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。答案补充 三点一定共面,证第四点在该平面内用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线
平行线: 两条线的
方向向量矢量积为0，且两条线没交点
面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面
法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ，且线不在平面内
三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0
四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为0
3怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面
简明地证明，网上的不具体，不要复制!
证明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP
将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)即：向量CP=x向量CA+y向量CB
由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。
故：A，B，C，P四点共面。
4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B C 三点共面 只需证明P点在这个平面上即可 以下向量符号省去
证明： PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a向量OA+b向量OB+c向量OC )=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA
到这里 因为ABC已经确定了一个平面且 PA=bBA+cCA
所以PA平行平面 又A在平面内 所以P点也在该平面内，所以四点共面
如果两个向量a. b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使 p=xa+yb
编辑本段共面向量的定义： 能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量
编辑本段推论：推论1 设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)
使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面（但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的
充分不必要条件）
证明： 1）唯一性：
设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC
则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC ∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0
∵OA、OB、OC不共面∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'
故实数x,y,z是唯一的
2）若x+y+z=1 则PABC四点共面：
假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1且PABC不共面
那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC
OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)
点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立
推论2
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB{MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O，有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}