二元函数的偏导数存在，则此函数一定连续吗

Question

如题所述

Answer 1

这句话当然是错误的
偏导数存在，函数不一定连续
例如：z=xy/(x²+y²) (x²+y²≠0)
z=0 (x=y=0)
那么 lim[x=y-->0]xy/(x^2+y^2) =1/2
lim[x=2y-->0]xy/(x^2+y^2) =2/5≠1/2
注意多重函数的极限要沿各个方向都一样才存在
所以这里在（0,0）极限不存在，也就不连续