弯曲应力场

Question

如题所述

Answer 1

(1)横向载荷弯曲应力场

假设一个两端受支撑的横梁，并施加一垂直重力(图2.45)，当所施力达到一定数值时，横梁发生弯曲，此时梁内的应力是非均匀的，也就是说各点单元体面上的应力数值各不相同。

变形前的平行直线1—1，2—2在变形后仍为直线，但方位发生了偏移；变形前的直线a—b，c—d和o—o在变形后均呈弧形，且a—b缩短了，c—d伸长了，o—o长度不变。

根据弹性力学原理，其内部任一点的正应力σ_x和剪应力τ_x为

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式中：b为梁的宽度；h为梁的高度；M为弯矩；y为距中和面的距离；Q为剪力。

由上面二式可见，对某一个截面来说，弯矩M和剪力Q是已知的，则截面上的正应力分布是和y成比例的(图2.45)。在y是正的地方，σ_x是正，是压应力；在y是负的地方，σ_x是负，是张应力。应力数值最大在

的上下边缘处。截面上的剪应力τ_x分布规律正好和正应力分布规律相反，在边缘上τ_x为零，在中心面剪应力最大(图2.46)。

图2.45 横梁弯曲变形和应力分析示意图

(据王仁等)

图2.46 应力分布规律图

(据王仁等)

(a)正应力；(b)剪应力

在知道了各点的剪应力和正应力后，就可以直接利用应力公式或莫尔圆求出最大主应力σ₁、最小主应力σ₃和最大剪应力τ_max的大小和方向。

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将公式(2.117)、(2.118)代入即得。

(2)纵向载荷弯曲应力场

地壳中的褶皱大多数是在水平力作用下形成的，这与弹性力学上所研究的梁在轴向力作用下的弯曲问题近似。如果一根横梁受到偏心轴向压缩(图2.47)。为研究方便起见，可在中心部位加一对大小相等、方向相反的力a和b，从而把偏心压缩问题转化为中心线上的轴向压力和一对力矩的作用。轴向压力和力矩所引起的应力和应变分布可计算出来。

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式中：e为偏心距；N为轴向力。

图2.47 横梁受偏心力作用

(据王仁等)

图2.48 在偏心力作用下的应力分布

截面上的应力分布如图2.48所示。在y＞0的一边，轴向压应力被抵消了一部分，最大拉应力或最小压应力出现在

处。

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如果偏心距

，在

处，出现拉应力，容易出现破裂。在y＜0的一边则出现压应力，容易产生压性构造。

在偏心载荷作用下，直梁屈曲的临界应力为

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由此可见，它是与

成比例的。当

愈小，临界压力就愈小；那就是说，对于既薄又长的梁，不需多大的压应力就可使梁弯曲破坏。对地质体而言，沉积岩既薄又长，在水平压应力作用下，很容易发生褶皱现象就是这个道理。

如果对直梁施以轴向压力，同时又施以横向压力，如图2.49。此时使梁发生弯曲的临界轴向力σ_cr为

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式中：E为弹性模量；J为惯性矩；l为梁的长度。

图2.49 横梁受轴向压力和横向压力作用

梁的挠度为

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从分析可知，梁在水平轴向压力作用下，有一个临界压力。在这个压力下，只要有很微小的偏心距或很微小的横向载荷，就可能发生很大的弯曲变形。就地质问题来说，地层在水平压力作用下，如果受到其他干扰，当水平压应力接近临界压应力时，将产生大的弯曲变形，形成褶皱。