附录A 傅里叶级数及傅里叶变换

Question

如题所述

Answer 1

（一）谐波及其合成

物理上所说的谐波是指如下的三角函数：

反射波地震勘探原理和资料解释

其中A称为振幅，φ称为初相，ω＝2πf称为角（圆）频率，f称为频率，

称为周期（见附图A-1）。利用三角公式可将（附A-1）式改写为

S＝Acosφcosωt-Asinφsinωt

若记

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则得：

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而

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由此可知，若已知（附A-1）式可由（附A-2）式计算出a、b；反之，若已知（附A-3）式，可由（附A-4）式解出A和φ，故两种谐波表达式等价。

附图A-1

谐波是极其简单的波形，但利用谐波的合成可以得到比较复杂的波形。例如考虑三个谐波的合成：S＝sint+

。其图形见附图A-2，它与原谐波图形已有很大差异了。下面将会看到满足一定条件的周期函数均可用谐波合成出来。

附图A-2 谐波的合成

（二）周期函数的傅里叶级数

数学上可以证明，当一个周期为T的函数f（t）满足一个比较宽的条件时可以表示为

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其中A_kcos（kω₀t+φ_k）称为f（t）的角频率为kω₀的谐波分量。换句话说，即当f（t）满足一定条件时可分解为直流成分（常数项

）和一系列谐波成分之和。这一系列谐波成分以

为基频，其余的角频率皆为基频的整数倍。利用（附A-2）式可将（附A-5）式改写为

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可以证明其系数为

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（附A-5）式和（附A-6）式右端的级数即是周期函数f（t）的傅里叶级数。A_k＝

是f（t）的谐波分量（对应于角频率kω₀）的振幅，φ_k是其初相。

可以将傅里叶级数（附A-6）式和（附A-7）式改写为复数形式：

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式中

是f（t）简谐分量的复数表示法，c_k是个复数即

，显然

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也就是说，∣c_k∣为简谐分量的振幅，φ_k为初相。将振幅∣c_k∣与频率kω₀的函数关系称为f（t）的振幅谱，相应地将φ_k与频率kω₀的函数关系称为f（t）的相位谱。

周期函数可以表示为傅里叶级数这一事实说明周期函数的振幅谱和相位谱都是离散的，即由一条条谱线所组成，称为线状谱。附图A-3即为附图A-2波形的线状谱。

附图A-3 合成波的线状谱

（三）傅里叶变换和频谱

实际反射波地震资料处理中遇到的信号大多是非周期的。非周期函数在一定条件下可以利用周期函数进行研究。可将非周期函数看成是周期T为无穷大的周期函数。由前述可知基频ω₀等于

，频率间隔Δω_k＝（k+1）ω₀-kω₀＝ω₀＝

，周期T越大时Δω_k越小；当时T➝∞时，Δω_k➝dω，离散的线性谱的端点逐渐连成一条曲线，离散谱逐渐变成连续谱。此时数学上傅里叶级数就变成了形式上十分类似的傅里叶积分：

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式中F（ω）是ω的复变函数（复变谱），它可以写成F（ω）＝A（ω）e^iφ（ω）。其中A（ω）和φ（ω）均为ω的实变函数，前者称为f（t）的振幅谱，后者称为f（t）的相位谱。对于一个确定的频率ω而言，A（ω）和φ（ω）是确定的实数，它们分别表示频率为ω的谐波分量的振幅值和相位。（附A-9）式的物理意义是说任何一个非周期函数f（t）均可认为是无穷多个不同频率、不同振幅和不同起始相位的谐波之和。

傅里叶级数将一个周期信号分解为无穷多个谐波的离散和。这些谐波有一个基频ω₀，所有谐波的频率皆是ω₀的整倍数，故它们有一个共同的周期

，叠加结果为一个周期是T的函数。傅里叶积分则把一个非周期信号分解为无穷多个谐波的连续叠加。这些谐波的频率ω可以取任意实数，虽然每一项F（ω）^iωtdω都是一个周期函数，但它们之间不存在共同的周期，故叠加结果为一个非周期函数。

由（附A-9）式可知，已知信号f（t）可以唯一地计算出它的复变谱F（ω）。已知信号的复变谱F（ω）也可以唯一地确定其波形f（t）。数学上是唯一的、一一对应的关系。F（ω）称为f（t）的傅里叶变换，而f（t）则称为F（ω）的反傅里叶变换。物理上将由信号f（t）求其傅里叶变换F（ω）的过程称为信号的频谱分析，附图A 4是傅里叶变换的一例。

附图A-4 非周期函数（a）及其振幅谱（b）

作为时间函数的地震波形与作为频率函数的振幅谱、相位谱（或复变谱）之间可以互换且一一对应，故任何复杂的波形既可以作为时间函数研究也可以作为频率函数研究。作为时间函数研究时称为时间域中的函数，作为频率函数研究时称为频率域中的函数。

（四）傅里叶变换的几个基本性质

（1）叠加定理（线性性质）。设信号f₁（t）的频谱为F₁（ω），f₂（t）的频谱为F₂（ω）。若f（t）＝af₁（t）+bf₂（t），其中a、b为任意常数，则f（t）的频谱为F（ω）＝aF₁（ω）+bF₂（ω）。

（2）时延定理。设信号f（t）的频谱为F（ω），则延迟一段时间后τ的信号f（t-τ）的频谱为F（ω）e^-iωτ。说明一个波形经延迟一段时间后，振幅谱不变，相位谱的变化与延迟时τ有关。

（3）频移定理。设信号f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴移动ω₀得F（ω-ω₀），则与之对应的时间信号变为f（t）e^iω0t。

（4）时间尺度展缩定理。设f（t）的频谱为F（ω），将波形沿时间轴压缩到原来的

倍（即将时间坐标尺度扩展a倍）后的波形f（at）的频谱为

F（

）。

（5）频率尺度展缩定理。设f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴压缩到原来的

倍后F（αω）所对应的时间信号为

（

）。

（6）褶积定理。设时间函数x（t）和h（t）的频谱分别为X（ω）和H（ω），则它们褶积y（t）＝x（t）*h（t）的谱Y（ω）等于X（ω）和H（ω）之积，即Y（ω）＝X（ω）·H（ω）。