第2个回答 2015-01-31
已知a,b,c>0,a+b+c=2
1)求abc的最值
最大值:由均值不等式 abc<=((a+b+c)/3)^3=8/27 当a=b=c=2/3时取最大值
最小值:不存在,abc>0
2)
1/a+1/b+1/c的最小值
由柯西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(1+1+1)^2
2(1/a+1/b+1/c)>=9
1/a+1/b+1/c>=9/2
所以最小值为9/2当a=b=c时取得最小值
第3个回答 2015-01-31
a、b、c>0,且a+b+c=2.
故依均值不等式得:
(1)abc≤[(a+b+c)/3]^3=8/27,
∴a=b=c=2/3时,
所求abc的最大值为:8/27.
(2)用柯西不等式最简单,
也可以用均值不等式:
1/a+1/b+1/c
=(1/2)·(a+b+c)·(1/a+1/b+1/c)
=(1/2)·[3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)]
≥(1/2)·[3+2√(a/b·b/a)+2√(b/c·c/b)+2√(c/a·a/c)]
=9/2.
∴a=b=c=2/3时,
所求最小值为:9/2。