初中数学!帮帮忙啊!

Question

三角形三边的垂直平分线,中线,高是否交于一点?请帮忙证一下!谢谢!

Answer 1

如何证明三角形三条边的垂直平分线交于一点证明: 设任意△ABC，AB与AC的垂直平分线交于D点，过D点作BC的垂直线交BC于E点则BD=AD=CD，所以△BCD是等腰三角形，且DE⊥BC 很简单能证明出：△BED≌△CED，所以BE=CE 所以，DE也是BC的垂直平分线所以，三角形三条边的垂直平分线交于一点
证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心．
已知：△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．（图略）
分析 要证AX，BY，CZ相交于一点，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．
证分别过A，B，C作对边的平行线，则得到△A′B′C′(图略)．由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，所以AC′ =BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC‖B′C′，所以AX⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理，BY，CZ分别为A′C′， A′B′的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H
下面提供您2种证法,请君自便,(向量表示符号弄不出,可能给您带来阅读等方面不便,在此深表歉意.)
证法1
先做图,做出过B, C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,所以M,N是AC,AB的中点.连接MN
设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数)

向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN,

向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM

所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN

即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量

因为向量PM与向量PN不共线,所以λ=2,μ=2
所以向量BP=2向量PM
由此证得两中线交点把BM分成2:1.同理可证另一条中线与BM的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2
得证.

证法2

作出一个三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c
则向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a).
再设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD，
则向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因此三条中线交于点P。
三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2
希望我的回答对你有点帮助

Answer 2

这样的
先说中线 中线交点叫做重心 重心的性质是分中线成比例1比2 这样你只需先用两条中线证明这个比例（三角形中卫县加上相似即可） 在将其中一条中线换成另一条 你会发现 两次的交点是重合的 因为同一边上都是1比2的比例
再说高线 这回要用到 如今处中课本已经删掉的内容：四点共圆 先画两条高线 比如三角形ABC分别作BC AC 边上高线AD BE AD CE交于F 连接CF 只需证明∠FCA+∠BAD+∠DAC=90°即可 连接DE 因为∠DAC=∠CBE 所以A B D E四点共圆（这个可以通过圆周角推理得到 是一个定理） 所以∠BAD=∠BED（圆周角）观察 ∠ADC+∠BEC=90° 所以FDCE四点共圆 所以∠BED=∠FCD圆周角 所以∠BAD=∠FCB 而∠DAC+∠ACF+∠FCD=90° 所以CF延长线也垂直于AB
最后说垂直平分线 同样从圆的角度走 因为三角形任意两边的垂线交于一点（过端点做垂线） 所以任意三角形有外接圆（四点共圆） 所以有圆心 所以三条中垂线一定交于一点
from 潞河中学09届初三实验班某人
楼主 向量的方法也很强 不过那是高中内容 初中生就看我这个吧 比较简单
大哥 采纳一下啊！！！！！！！！！！！！

Answer 3

交于一点

Answer 4

向量你现在不会的 我觉得你的问题是超纲的 你看楼上的吧~~~初中不需要证明

Answer 5

反正法,假设不交于一点,找出矛盾就OK啦!

Answer 6

直角三角形交于斜边上，钝角三角形交于三角形外，锐角三角形在三角形内。