由对称性,S=4∫(0→a)ydx
=4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]
=12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt
=12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4-(sint)^6] dt
=12a^2[3/4*1/2*π/2-5/6*3/4*1/2*π/2]
=(3πa^2)/8
拓展资料
星形线是内摆线的一种。星形线(astroid)或称为四尖瓣线(tetracuspid),是一个有四个尖点的内摆线,也属于超椭圆的一种。
旋转体表面积 :(12*π* a^2)/5
旋转体体积: (32*π*a^3)/105
面 积 :(3*π*a^2)/8
性质:
最先对星形线进行研究是Johann Bernouli。星形线由于有四个尖端,所以有时也被称为四尖内摆线(tetracuspid)。星形线于1836年被正式定名,首次出现在正式出版的图书(出版于维也纳)中。星形线还有许多有趣的名称:cubocycloid和paracycle。若星形线上某一点切线为T,则其斜率为tan(p),其中p为极坐标中的参数。相应的切线。
如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y),则线段xy恒为常数,且为a。
星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。