高二绝对值问题

Question

1.设|a|≤1，函数f(x)=ax^2+x-a,x∈[-1,1],求|f(x)|的取值范围？
2.已知a^2+b^2+c^2=1,求证ab+bc+ca≥-1/2.
我要过程。。谢谢了，如果解答的好，我会追加！

Answer 1

1.
先求一下最大值吧,答案是5/4

当a=0时 y=x 所以f（x）≤1≤5／4
当0<a≤1时 函数图像开口向上 所以最大值在两端
所以 f(1)=a+1-a=1≤5／4
f(-1)=a+-a=1≤5／4
所以 f(x)≤5／4
当-1≤a<0时 函数图像开口向下
对称轴为x=-1/2a
所以最大值可能在对称轴处 可能在端点
因为f(1)=f(-1)=1≤5／4
所以只需证对称轴处值小于5/4
所以f(-1/2a)=1/4a-1/2a-a=-1/4a-a=-(1/4a+a)
因为|a|≤1 所以-1/2a>=1/2
当-1/2a〉=1时 f(x)max=f(1)=1≤5／4
当-1/2a<1时 -1<a<-1/2
设g(a)=-(1/4a+a)
所以g(a)'=-(1-1/4a^2)
因为<0-1/2a<1 所以0<1/4a^2<1
-(1-1/4a^2)<0
所以单调递减 所以g(a)max=g(-1)= 1.25
故f(x)≤1.25

2.
ab+bc+ca
=((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)) /2
=((a+b+c)^2)/2 -1/2
由于((a+b+c)^2)/2>=0
所以上式>=-1/2
得证

Answer 2

解：
1.f(x)=ax²+x-a=a(x²-1)+x
-1≤a≤1,-1≤x²-1≤0,∴0≤a(x²-1)≤1 ∴-1≤f(x)≤2
2.(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)≥0,即2(ab+bc+ac）≥-1，∴ab+bc+ca≥-1/2
祝学习进步！

Answer 3

解：
1.f(x)=ax²+x-a=a(x²-1)+x
-1≤a≤1,-1≤x²-1≤0,∴-1≤a(x²-1)≤1 ∴-2≤a(x²-1)+x≤2∴-2≤f(x)≤2 ∴0≤|f(x)|≤2
2.(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)≥0,即1+2(ab+bc+ac）≥0，∴2(ab+bc+ca)≥-1，
∴(ab+bc+ca)≥-1/2