已知数列{ xn}满足单调递减且有界，求证{ lim}{ n→∞} xn存在

Question

如题所述

Answer 1

分析 0＜xn+1=sinxn≤1，可得：当n≥2时，xn+1=sinxn＜xn，数列{xn}满足单调递减且有界，因此 {lim}{n→∞} xn存在，解出即可．

解答 证明：∵0＜xn+1=sinxn≤1，0<X1<π，

∴当n≥2时，xn+1=sinxn＜xn，
∴数列{xn}满足单调递减且有界，

因此 {lim}{n→∞} xn存在，
设 {lim}{n→∞} xn=x，
则x=sinx，
解得x=0，
∴ {lim}{n→∞} xn=0．

点评 本题考查了单调有界数列必有极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．