fx=e^x证明对任意的实数不等式fx>=ex恒成立

Question

如题所述

Answer 1

这是高中数学常见的恒成立问题，原不等式等价于：e的x次方－ex＞＝0恒成立。
令h（x）＝e的x次方－ex，求导可得h'（x）＝e的x次方－e，令h’（x）＝0得：x＝1
当x＜1时，h’（x）＜0，函数h（x）是减函数；当x＞1时，h’（x）＞0，函数h(x)是增函数
故当x＝1时，h(x)有最小值h(1)＝0 ，所以h(x)＞＝0恒成立，即原不等式成立

Answer 2

证：
设g(x)=e^x -ex，x取任意实数，g(x)恒有意义，函数定义域为R。
g'(x)=e^x -e
令g'(x)>0，得e^x -e>0，解得x>1
令g'(x)=0，得e^x -e=0，解得x=1
令g'(x)<0，得e^x-e<0，解得x<1
即：函数在区间(-∞，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，x=1时，g(x)取得最小值。
令x=1，得g(x)=e-e·1=0
g(x)=e^x -ex≥0
e^x≥ex
f(x)=e^x≥ex
综上，得：对于任意实数x，不等式f(x)≥ex恒成立，当且仅当x=1时取等号。

总结：
本题运用导数求解不等式问题，而且用到了构造的数学思想。
由要求的不等式，构造函数g(x)=e^x-ex，求得其最小值为0，则e^x-ex≥0，从而证得f(x)≥ex。