实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理,。
一、上(下)确界原理
非空有上(下)界数集必有上(下)确界。
二、单调有界定理
单调有界数列必有极限。具体来说:
单调增(减)有上(下)界数列必收敛。
三、闭区间套定理(柯西-康托尔定理)
对于任何闭区间套,必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零,则该点是唯一公共点。
四、有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理,海涅-波雷尔定理)
闭区间上的任意开覆盖,必有有限子覆盖。或者说:闭区间上的任意一个开覆盖,必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理)
有界无限点集必有聚点。或者说:每个无穷有界集至少有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性(致密性定理)
有界数列必有收敛子列。
七、完备性(柯西收敛准则)
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说:柯西列必收敛,收敛数列必为柯西列。
扩展资料
单调有界定理注意事项
1、单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性,如何求极限需用其他方法;
2、数列从某一项开始单调有界的话,结论依然成立,这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。
参考资料来源:百度百科——单调有界定理
参考资料来源:百度百科——实数公理
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理。
它们彼此等价,以不同的形式刻画了实数的连续性,它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具,在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立,只能说明它们同时成立或同时不成立,这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而说明它们同时都成立,引进方式主要是承认戴德金公理,然后证明这7个基本定理与之等价,以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。
我想问的不是这个答案?
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