如图，在三角形ABC中，角C=90度，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2。若圆O的圆心在线段BP上，且圆O与AB,AC都

Question

如题所述

Answer 1

连接OA、OQ、OD。设圆O的半径为 R 。
则有：OQ⊥AC ，OD⊥AB ，OQ = OD 。

在Rt△OAQ和Rt△OAD中，OQ = OD ，OA为公共斜边，
所以，△OAQ ≌ △OAD ，可得：AQ = AD 。

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=8 ，AB=10 ，由勾股定理可得：BC = 6 ，
而且，CP = AC-AP = 6 ，可得：△BCP是等腰直角三角形，BP = 6√2 。

因为，∠OQP=90°，∠OPQ=45°，
所以，△OPQ是等腰直角三角形，OQ = R ，OP = √2R 。

AD = AQ = AP+PQ = 2+R ；
在Rt△OBD中，OB = BP-OP = √2(6-R) ，BD = AB-AD = 6-R ，OD = R ，
由勾股定理可得：OB^2 = BD^2+OD^2 ，
解得：R = 1 ，AQ = 2+R = 3 。

解：设圆O半径是R
过点O分别作边AC的垂线OM，边AB的垂线ON，
∵圆O与AB,AC相切，
∴OM=ON=R，都是圆O的半径
方法一：连接AO，延长交BC于E，过点E作EF⊥AB，交AB于F，设CE=X
∵OM=ON，且OM⊥AC，ON⊥AB，
∴AE是∩BAC的角平分线，
则，CE=EF=X，BE=BC-CE=6-X
因为，△BFE∽△BCA
所以，BE/AB=EF/AC
即，(6-x)/10=x/8
解得：x=8/3
即，CE=8/3
因为，AP=2，则CP=8-2=6
那么，△BCP是等腰Rt△，∩BPC=45°
则，△OMP也是等腰Rt△，PM=OM=R
因为，△OMA∽△ECA
所以，OM/CE=AM/AC
即，R / (8/3) = (R+2) / 8
解得：R=1
所以圆O的半径是1
方法二：（前面作法等同），延长NO交AC于点G
在Rt△GMO中，∩OGM+∩MOG=90°
在Rt△ANG中，∩OGM+∩GAN=90°
则，∩MOG=∩GAN
所以，Rt△GMO∽Rt△BCA，
可得：GM/AC=OM/AC=GO/AB
所以，GM=6/8*R=3/4*R
GO=10/8*R=5/4*R
则，GN=GO+ON=5/4*R+R=9/4*R
因为，AP=2，则CP=8-2=6
那么，△BCP是等腰Rt△，∩BPC=45°
则，△OMP也是等腰Rt△，PM=OM=R
那么，GA=GM+MA=GM+MP+AP=3/4*R+R+2=7/4*R+2
因为，Rt△ANG∽Rt△BCA
则，AG/BA=GN/BC
即，(7/4*R+2) / 10 = (9/4*R) / 6
解得：R=1
所以，圆O的半径是1
下附图参考，将就着看。
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