对于二阶线性微分方程y''+y=0怎么得到它的两个非线性特解y1=cosx y2=sinx。还有（x-1)y''+xy‘+y=0 的

Question

如题所述

Answer 1

解法：
y''+y=0：
特征方程：r^2 + 1 = 0 ==> 两个特征根 r1 = i，r2 = -i；
通解为: y = A*e^(i*x) + B*e^(-i*x)
特解可以对A，B进行赋值，
当 A = 1/2, B = 1/2时，y1 = cosx；
当 A = 1/(2i)，B = -1/(2i)时，y2 = sinx；
还有一个较复杂，等我做完补上
第二个是非线性微分方程，没有具体的形式，我用MATLAB得到结果如下：

Answer 2

第一题，这是二阶齐次线性常微分方程：
特征方程：r^2+1=0
，得到两特征根
r1=i,
r2=-i
实际上就是α=0，β=1，于是通解为：
y=e^αx(C1cosβx+C2sinβx)=C1cosx+C2sinx
于是直接可得到
y1=cosx，y2=sinx
两个特解。
（至于验证，当然容易了）
第二题，是二阶齐次线性但不是常系数微分方程，
这个比较难解，我也还没想好，不一定能做得出来。

Answer 3

设y1和y2是ay''+by'+cy=f(x)的2个特解，
则有ay1''+by'+cy=f(x)
ay2''+by2'+cy=f(x)
2式相减得
a(y1''-y2'')+b(y1'-y2')+c(y1-y2)=0
所以y(x)=y1(x)-y2(x)为该方程相应的其次方程的特解。