有谁知道代数学的基本定理有哪些

Question

知道这些问题并能得出这些问题的几种新的证明方法

Answer 1

代数基本定理〔Fundamental Theorem of Algebra〕是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。

这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗〔1114-1185？〕在1150年提出的。他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》〔Lilavati〕，这个词原意是「美丽」，也是他女儿的名称。

1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。

1637年笛卡儿〔1596-1650〕在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。

欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明〔1814-1815，1816， 1848-1850〕，而「代数基本定理」一名亦被认为是高斯提出的。

高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。

Answer 2

这你得上书上找了

Answer 3

代数学基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)是说每个次数不小于1的复系数多项式在复数域中至少有一复根。

这个定理实际上表述了复数域的代数完备性这一事实。

高斯运用含参量积分的结论贡献了一个首创的代数学基本定理的证明；而利用复变函数论中的结论证明起来比较简洁；卢丁(Rudin)在他那本著名的《数学分析原理》中给出了一个看上去更清晰的证明，但其间用到很多专属于他那本著作的定理，要看懂此定理的证明，至少要先研读50页的前文，而全书不过300页。

具体的证明就不赘述了，自己去查参考文献吧，如果你真的感兴趣的话。

参考文献：

菲赫金哥尔茨 "微积分学教程" §14.2 [512] 代数学基本定理的高斯证明 高教出版社

Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis" Theorem 8.8 机械工业出版社

Courant, R. and Robbins, H. "The Fundamental Theorem of Algebra." §2.5.4 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 101-103, 1996.

Krantz, S. G. "The Fundamental Theorem of Algebra." §1.1.7 and 3.1.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 7 and 32-33, 1999.