无穷大的定义是什么？

Question

如题所述

Answer 1

无穷大的定义：对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的“无穷”。两个无穷大量之和不一定是无穷大，有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数），有限个无穷大量之积一定是无穷大。 

主要介绍

对于两个无穷集合，可以以能否建立它们之间的双射，作为比较其大小的标准。

确切地讲，我们用基数的概念来描述集合，对于有限集合而言，可以认为它的基数就是元素的个数，但对无穷集而言，基数只能以下面的方式理解（当然也可以据此把无穷集合的基数说成是它元素的个数，但这个个数已经不是日常用语中的意思）。

如果集合A与集合B之间存在双射（一一对应），就认为它们的基数一样大；如果A与B的某个子集有双射，就认为A的基数不比B更大，也就是A到B有单射，B到A有满射；当A的基数不比B更大，且A、B基数不一样大时，就认为A比B基数小。

在ZFC集合论的框架下，任何集合都是良序的，从而两个集的基数总是大于、小于、等于中的一种，不会出现无法比较的情况。但若不包括选择公理，只有良序集的基数才能比较。