如何求原函数？

Question

如题所述

Answer 1

要求一个函数的原函数，可以使用不同的方法，具体取决于函数的类型和给定的条件。以下是一些常见的方法：

基本积分法：对于一些基本的函数，我们可以使用基本积分公式来求其原函数。例如，对于多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等，我们可以使用相应的基本积分公式求其原函数。

替换法：有时候，通过进行代换可以简化函数的形式，使得求解原函数变得更容易。我们可以选择适当的变量代换，将原函数转化为一个更易积分的形式。

部分分式分解：对于一些有理函数，可以使用部分分式分解将其拆分为更简单的分式，然后再求解每个分式的原函数。

分部积分法：对于乘积形式的函数，可以使用分部积分法来求其原函数。这种方法通常适用于包含一个函数和它的导数乘积的情况。

数值积分：如果无法找到一个函数的解析表达式，我们可以使用数值积分方法来近似求解原函数。数值积分方法将函数划分成小区间，并使用数值计算的方法对每个小区间进行积分求和，从而得到近似的原函数值。

需要注意的是，求解原函数并不总是可能或简单。有些函数可能没有解析的原函数表达式，此时可能需要使用数值方法或其他近似方法进行计算。

Answer 2

令x=tanu , u∈(-π/2, π/2)

则dx=sec²udu

原函数=∫1/secu *sec²udu

=∫secudu

=∫1/cosu du

=∫cosu/cos²u du

=∫d(sinu)/(1-sin²u)

=1/2∫d(sinu)[1/(1-sinu)+1/(1+sinu)]

=1/2ln[(1+sinu)/(1-sinu)]+C

=ln|(1+sinu)/cosu|+C

=ln|(1+x/√(x²+1))/(1/√(x²+1))|+C

=ln|(x+√(x²+1)|+C