已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若x1<x2,且f(x1) ≠f(x2)，证明方程f(x)=(f(x1)+f

Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若x1<x2,且f(x1) ≠f(x2)，证明方程f(x)=(f(x1)+f(x2))/2必有一实数根在区间（x1,x2)内

Answer 1

令F(x)=f(x)-(f(x1)+f(x2))/2，F(x1)=f(x1)-(f(x1)+f(x2))/2=(f(x1)-f(x2))/2，F(x2)=f(x2)-(f(x1)+f(x2))/2=(f(x2)-f(x1))/2=-(f(x1)-f(x2))/2，因为f(x1) ≠f(x2)，所以F(x1)与F(x2)均不为0，且它们互为相反数，所以函数F(x)的图像必定有一个交点在(x1，x2)上，即F(x)=0必有一实数根在区间(x1，x2)上。F(x)=0即为f(x)=(f(x1)+f(x2))/2=0