如图,在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC=AD,角ADC=120度，连接BD，求证BD垂直DC 若AB=4，求梯形ABCD的面积

Question

如题所述

Answer 1

1、作DE//AB，交BC于E，
四边形ADEB是平行四边形，DE//AB，DE=AB，
AD=BE，
AB=CD，
DE=CD，
〈ADC=120°，
〈C=60°，（同旁内角和为180度），
三角形DCE是正三角形，
DE=CE=BE，
则B、D、C在以E点为圆心，DE为半径的圆上，
BC为直径，故〈BDC=90度，（半圆上的圆周角是直角），
∴BD⊥CD。
2、作高DF，交BC于F，
DF/CD=sin60°，
DF=4*√3/2=2√3，
S梯形ABCD=（AD+BC）*DF/2=（4+4+4）*2√3/2=12√3。

Answer 2

(1)BD垂直于DC
理由 ：由已知 AD平行于BC,AB=DC=AD 得 梯形ABCD为等腰梯形。
则 ∠ABD=∠C
又 ∠ADC=120°
所以 ∠A=120°
因为 在△ABD中，AB=DC
所以 △ABD为等腰三角形
又 ∠A=120°
所以 ∠ADB=30°
所以 ∠BDC=90°
所以 BD垂直于DC
(2) 分别过A、D作 AE垂直于BC、DF垂直于BC,
则 EF=AD=AB=4
因为 AD平行于BC ∠ADC=120°
所以 ∠C=∠ABD=60°
所以 ∠BAE=∠CDF=30°
所以在△BAE、△CDF中
BE=1/2AB=2 AE=√3/2AB=2√3
CF=1/2DC=2 DF=√3/2DC=2√3
又BC=BE+CF+EF=8
所以 梯形ABCD的面积为
S=[DF*(AD+BC)]/2=[2√3(4+8)]/2=12√3

Answer 3

1、作DE//AB，交BC于E，
四边形ADEB是平行四边形，DE//AB，DE=AB，
AD=BE，
AB=CD，
DE=CD，
〈ADC=120°，
〈C=60°，（同旁内角和为180度），
三角形DCE是正三角形，
DE=CE=BE，
则B、D、C在以E点为圆心，DE为半径的圆上，
BC为直径，故〈BDC=90度，（半圆上的圆周角是直角），
∴BD⊥CD。
2、作高DF，交BC于F，
DF/CD=sin60°，
DF=4*√3/2=2√3，
S梯形ABCD=（AD+BC）*DF/2=（4+4+4）*2√3/2=12√3。

Answer 4

1、作DE//AB，交BC于E，
四边形ADEB是平行四边形，DE//AB，DE=AB，
AD=BE，
AB=CD，
DE=CD，
〈ADC=120°，
〈C=60°，（同旁内角和为180度），
三角形DCE是正三角形，
DE=CE=BE，
则B、D、C在以E点为圆心，DE为半径的圆上，
BC为直径，故〈BDC=90度，（半圆上的圆周角是直角），
∴BD⊥CD。
2、作高DF，交BC于F，
DF/CD=sin60°，
DF=4*√3/2=2√3，
S梯形ABCD=（AD+BC）*DF/2=（4+4+4）*2√3/2=12√3

Answer 5

（1）证明：∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠C=60°．
又∵AB=DC=AD，
∴∠ABC=∠C=60°，∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°，BD⊥DC．
（2）解：过D作DE⊥BC于点E，
在Rt△DEC中，
∵∠C=60°，AB=DC=4，
∴DE DC =sin∠C=sin60°，
∴DE=2 根号3 ，
在Rt△BDC中，DC BC =sin30°，BC=2DC=8，
∴S梯形=1 2 （AD+BC）•DE=12 根号3