在复数领域，三角函数的性质被扩展到了复数的加法形式，以更好地处理复数的相位和幅度。首先，我们来理解正弦函数在复数情况下的表现：
对于正弦函数 sin(a+bi)，其可以分解为实部和虚部的乘积：
sin(a+bi) = sin a \cdot cos b + i \cdot sin b \cdot cos a
同样地，余弦函数 cos(a-bi) 的复数形式为：
cos(a-bi) = cos a \cdot cos b + i \cdot sin a \cdot sin b
而正切函数 tan(a+bi) 则表示为正弦与余弦的比值：
tan(a+bi) = \frac{sin(a+bi)}{cos(a+bi)}
对于它的倒数，余切函数 cot(a+bi) 则是：
cot(a+bi) = \frac{cos(a+bi)}{sin(a+bi)}
此外，正弦和余弦函数的倒数，secant（sec）和cosecant（csc）在复数形式下分别定义为：
sec(a+bi) = \frac{1}{cos(a+bi)}
csc(a+bi) = \frac{1}{sin(a+bi)}
这些公式展示了三角函数如何与复数的加法结合，为复数分析和信号处理等领域提供了基础工具。
在数学中，三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。