不同于复数仅有的两个单位1与i，四元数世界更为丰富，它拥有四个基本单位：1, i, j, k。这些单位类似于空间笛卡儿直角坐标系中的三个轴向，i, j, k分别对应于x, y, z轴。一般的四元数形式为a+bi+cj+dk，其中a, b, c, d是实数，被称作四元数的系数。
四元数的运算规则与复数类似，加减法遵循交换律和结合律。然而，四元数的乘法却独具特色，它满足结合律，但不满足交换律，这使得四元数集合不能被视为数域，而是被称为广域。这一特性使得四元数在数学和物理领域中具有独特的地位。
四元素理论的发展极大地促进了向量代数的进步。著名的物理学家麦克斯韦，作为哈密尔顿的学生，凭借对四元数的理解，成功运用向量分析等工具，构建了影响深远的电磁理论。这一历史事件展示了四元数在理论科学中的实际应用价值。
有趣的是，19世纪数学家们的进一步研究表明，对于实数域上的n维向量空间，当n超过2时，若要定义乘法使其成为数域是无法实现的。因此，我们仅称二维向量为复数，而n大于2的向量空间则被定义为超复数系统，这进一步揭示了四元数的独特地位和它在数学分类中的重要性。
复数可以表示平面向量，在物理上有着广泛应用。于是人们很自然地想到，能不能仿照复数复数集找到“三维复数”，用以表示空间向量呢?爱尔兰的数学家哈密顿首先发现，要想在实数基础上建立三维复数，使它具有实数和复数的各种运算性质，这是不可能的。他进而研究“四维复数”，笪以所谓四元数，并于1857的发表了《四元数讲义》。他逝世后的第二年，即1866年出版了《四元数原理》。