对数函数和指数函数之所以互为反函数，是因为它们在运算上存在互逆的关系。为了解释这一点，让我们使用常见的对数和指数基数——自然对数的底数\( e \)。
1. **指数函数**：\[ f(x) = e^x \]
2. **对数函数**：\[ g(x) = \ln(x) \]
现在，我们来证明它们是反函数：
要使两个函数互为反函数，任何时候我们有\[ f(g(x)) = x \]和\[ g(f(x)) = x \]。
对于上述的函数：
\[ f(g(x)) = f(\ln(x)) = e^{\ln(x)} = x \]
\[ g(f(x)) = g(e^x) = \ln(e^x) = x \]
以上的运算证明了这两个函数在合成的时候会得到输入的原始值。
从符号上，您提到的“f=g的-1次方”通常表示为\( f = g^{-1} \)，这里的-1次方并不是真的代表求某个数的倒数，而是表示反函数的意思。所以，指数函数的反函数是对数函数，反之亦然。这就是为什么我们说它们互为反函数。
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