大一微积分定积分题目 红色标记的题目 求详细解答

Question

如题所述

Answer 1

首先确定函数 f(x) 在区间 a,  b上连续，并且存在原函数F(x) ，则可运用牛顿-莱布尼兹公式求解。

a.  先求出原函数。sinψcosψ^3=(sinψcosψ) * (cosψcosψ)

运用三角函数的积化和差公式

(sinψcosψ) * (cosψcosψ)=½sin2ψ  *  ½(cos2ψ+1)=½sin2ψ  *  ½cos2ψ+½sin2ψ  

再次运用积化和差公式

½sin2ψ  *  ½(cos2ψ+1)=1/8sin4ψ+½sin2ψ  

由此可以求出f(x)的原函数 F(X)

dF(X)=f(x)dx=(1/8sin4ψ+½sin2ψ ) dψ

F(X)=-1/32 cos4ψ-1/4cos2ψ +C

b.运用牛顿-莱布尼兹公式求解

则∫sinψcosψ^3dψ=( -1/32cos4*π/2-1/4cos2*π/2+C)  -(-1/32cos0-1/4cos0+C)

=(-1/32cos2π-1/4cosπ) - (-1/32 - 1/4)

=-1/32+1/4 +1/32 +1/4

=1/2

Answer 2

如下

Answer 3

宫梦弼改编自原著同名篇章。