如何求一个数的导数？

Question

如题所述

Answer 1

求一个函数的导数可以使用求导公式和链式法则。以下是一些常见函数的求导公式：
1. 常数函数的导数为 0，即 $f(x)=c$，则 $f^\prime(x)=0$。
2. 幂函数的导数公式为$(x^n)^\prime=n\times x^{n-1}$，其中 n 为正整数。
3. 指数函数的导数公式为$(a^x)^\prime=a^x\times\ln a$，其中 a 为常数且$a>0$。
4. 对数函数的导数公式为$(\log_a x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}$，其中 a 为常数且$a>0$。
5. 三角函数的导数公式为：
- $\sin x$的导数为$\cos x$。
- $\cos x$的导数为$-\sin x$。
- $\tan x$的导数为$\sec^2 x$。
- $\cot x$的导数为$-\csc^2 x$。
- $\sec x$的导数为$\sec x\times \tan x$。
- $\csc x$的导数为$-\csc x\times \cot x$。
6. 反三角函数的导数公式为：
- $\arcsin x$的导数为$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
- $\arccos x$的导数为$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
- $\arctan x$的导数为$\frac{1}{1+x^2}$。
- $\arccot x$的导数为$-\frac{1}{1+x^2}$。

如果一个函数由多个函数复合而成，可以使用链式法则求导。链式法则的公式为：$f(g(x))$的导数为$f^\prime(g(x))\times g^\prime(x)$。

例如，求函数$f(x)=\sin(2x+3)$的导数，可以使用链式法则，先求出内部函数$2x+3$的导数$2$，再乘以外部函数$\sin x$的导数$\cos x$，即$f^\prime(x)=2\cos(2x+3)$。

Answer 2

01 (a^x)'=(a^x)(lna)

指数函数求导公式：(a^x)'=(a^x)(lna)。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

指数函数求导公式：(a^x)'=(a^x)(lna)。指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，y=ax函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。 注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

细胞的分裂是一个很有趣的现象，新细胞产生的速度之快是十分惊人的。例如，某种细胞在分裂时，1个分裂成2个，2个分裂成4个……因此，第x次分裂得到新细胞数y与分裂次数x的函数关系式即为：

。

这个函数便是指函数的形式，且自变量为幂指数，我们下面来研究这样的函数。

一般地，函数

(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)。指数函数中

前面的系数为1。如：

都是指数函数；注意：

指数函数前系数为3，故不是指数函数。

导数的求导法则如下：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。