如何用抛物线焦点弦定理证明结论1、2、3？

Question

如题所述

Answer 1

抛物线焦点弦性质及推导过程：

要证结论，得先给出定义：

定义：由平面内到一个定点和一条定直线距离相等的所有点构成的图形，称为抛物线。定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线,，焦点到准线的距离称为焦准距。

结论 1　抛物线是轴对称图形，准线过焦点的垂线是它的一条对称轴. 

证明

设焦点为 FF, 准线为 ll, 轴为 aa, 抛物线上有一点 PP. 过 PP 作 PP′⊥lPP′⊥l, 垂足为 P′P′. 当 PP 不在 aa 上时，作 PP 关于 aa 的对称点 QQ, 作 P′P′ 关于 aa 的对称点 Q′Q′. 连接 FPFP、FQFQ. 由 a⊥la⊥l 知 PP′∥aPP′∥a, 所以 QQ′∥aQQ′∥a, 所以 QQ′⊥lQQ′⊥l. 由对称知 PP′=QQ′PP′=QQ′, FP=FQFP=FQ, 又 FP=PP′FP=PP′, 所以 FQ=QQ′FQ=QQ′, 所以 QQ 在抛物线上, 结论得证.

定义　抛物线的准线过焦点的垂线称为抛物线的轴, 轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点.

结论 2　设抛物线的焦点为 FF, 顶点为 OO, 焦准距为 pp, 对于抛物线上任意一点 PP, FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos⁡∠OFP.

证明

设 FP=ρFP=ρ, ∠OFP=θ∠OFP=θ.

如图，当 θ>90∘θ>90∘ 时，作 FPFP 在轴上的投影，易得 ρ=p−ρcosθρ=p−ρcos⁡θ. 整理得 ρ=p1+cosθρ=p1+cos⁡θ, 即 FP=p1+cos∠OFPFP=p1+cos⁡∠OFP.

同理可证当 0∘<θ<90∘0∘<θ<90∘ 时，结论仍然成立.

当 θ=90∘θ=90∘ 时，PF=pPF=p, 结论仍然成立。

当 θ=0∘θ=0∘ 时，PF=p2PF=p2, 结论仍然成立.

综上，对于抛物线上任意一点 PP, 结论成立.

推论 1　设抛物线的焦准距为 pp, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点，则有 1AF+1BF=2p1AF+1BF=2p.

推论 2　设抛物线的顶点为 OO, 焦准距为 pp, ∠OFP=θ∠OFP=θ, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点，则有 AB=2psin2θAB=2psin2⁡θ.

结论 3　设抛物线轴与准线的交点为 KK, 过抛物线焦点 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点, 则轴平分 ∠AKB∠AKB.

如图，设准线为 ll, 轴为 aa, 过 AA 作 AD⊥lAD⊥l, 交 ll 于 DD, 过 B 作 BC⊥lBC⊥l, 交 ll 于 CC.

∵∵ AD⊥lAD⊥l 且 BC⊥lBC⊥l

∴∴ AD∥aAD∥a 且 BC∥aBC∥a

∴∴ KDKC=FAFBKDKC=FAFB

又 ∵∵ FA=ADFA=AD 且 FB=BCFB=BC

∴∴ KDKC=ADBCKDKC=ADBC

∴∴ △KDA∼△KCB△KDA∼△KCB

∴∴ ∠DKA=∠CKB∠DKA=∠CKB

∴∴ 轴平分 ∠AKB∠AKB

结论 4　设抛物线焦点为 FF, 准线为 ll, 轴与准线的交点为 KK, 过 FF 的直线与抛物线交于 AA、BB 两点，过 AA 作 AD⊥lAD⊥l, 交 ll 于 DD, 过 B 作 BC⊥lBC⊥l, 交 ll 于 CC, 则FDFD 平分 ∠KFA∠KFA, FCFC 平分 ∠KFB∠KFB, FC⊥FDFC⊥FD.

证明

∵∵ FB=BCFB=BC, FA=ADFA=AD

∴∴ ∠AFD=∠ADF∠AFD=∠ADF, ∠BFC=∠BCF∠BFC=∠BCF

∵∵ KF∥ADKF∥AD, KF∥BCKF∥BC

∴∴ ∠KFD=∠ADF∠KFD=∠ADF, ∠KFC=∠FCB∠KFC=∠FCB

∴∴ FDFD 平分 ∠KFA∠KFA, FCFC 平分 ∠KFB∠KFB

∴∴ FC⊥FDFC⊥FD

能想到的性质暂时就这么多。欢迎补充。