傅里叶分析从诞生之日起，就围绕着“傅里叶级数究竟是否收敛于自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函数(x）的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法，后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数的傅里叶级数，在它的连续点上必收敛于(x）；如果在x点不连续，则级数的和是（(x+0)+(x-0))/2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数。
（G.F.）B.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定的傅里叶系数，要用到积分式⑶。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》（1854)的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数(x）在[0,2π]上有界且可积，则当n趋于无穷时 的傅里叶系数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函数的傅里叶级数在一点处的收敛性，仅仅依赖于(x）在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。
G.G.斯托克斯和P.L.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函数(x）可以唯一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。这就促使G.（F.P.）康托尔研究函数用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。
K.（T.W.）外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界，因为长期的直观感觉使人们误认为，连续函数只有在少数一些点上才不可求导。
