容斥原理
【知识点详情】
【容斥原理的含义】
在日常生活中,人们常常需要统计一些数量,在统计的过程中,往往会发现有些数量重复出现,为了使重复出现的部分不致被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,既先不考虑重复的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排除出去,使计算的结果既无遗漏又无重复.这种计数方法称为包含排除法,也叫做容斥原理或重叠问题.
【解题方法】
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
(1)容斥原理1:两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成:A∪B=A+B-A∩B (其中符号“∪”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思,符号“∩”读作“交”,相当于中文“且”的意思).
(2)容斥原理2:三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数.
用符号表示为:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
追答![](https://video.ask-data.xyz/img.php?b=https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/7e3e6709c93d70cf0547e6d9f0dcd100bba12ba0?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
收到了吗?
追问50*3=150 是求什么呢?
追答四种情况,50人全部参加三种的总人数
追问还是不懂
题目求50人中有几人参加四项啊
追答所以是减三次全部呀
追问明白了
谢谢
还有问题请教
追答请问
追问三量重叠中的......+同时是A类+同时是 B类+同时是 C类 怎么理解
追答A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数.用符号表示为:ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC.图示如下:
1
图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数,
大圆表示C的元素的个数.
1.先包含:A?B?C 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A?B?C?AB?BC?AC 重叠部分ABC重叠了3次,但是在进行A?B?C? AB?BC?AC计算时都被减掉了. 3.再包含:A?B?C?AB?BC?AC?ABC.