怎么证明如果一个幂零矩阵A能够对角化，则A=0

Question

如题所述

Answer 1

矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量.
幂零矩阵的特征值只有0
属于特征值0的特征向量是Ax=0 的非零解
自然与AX=0的基础解系有关系了
AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个解向量
所以A的属于特征值0的线性无关的特征向量有 n-r(A) 个
A≠0, 所以 r(A)>=1
所以 n-r(A) < n
所以A不能对角化