初三圆的数学题

Question

如图，△ABC的高AD、BE交于点M，延长AD交△ABC的外接圆圆O于G，求证，D是GM的中点

Answer 1

连接BC
因为∠AGB与∠ACB对应同一条弧AB
所以∠AGB=∠ACB
又因为⊿BCE与⊿BDM均为直角三角形，且∠CBE为公共角
所以∠BCE=∠BMD
所以∠AGB=∠BMD
因为BD⊥MG
所以D是GM的中点

Answer 2

连OB，OA,BG ∴∠C=0.5∠AOB ∠G=0.5∠AOB ∴∠C=∠G 又∵AD,BE为高 ∴∠BDM=∠BDG=∠BEC=90° ∴∠CBM+∠BMD=∠CBM+∠C ∴∠BMD=∠C ∴∠BMD=∠F ∴ΔBMD≌ΔBGD(AAS) ∴DH=DF 其实用到这样一个性质：圆内接三角形3条交点关于3边的对称点在圆上。以后你就会明白的。

Answer 3

连接BG
因为∠AGB与∠ACB对应同一条弧AB
所以∠AGB=∠ACB
又因为⊿BCE与⊿BDM均为直角三角形，且∠CBE为公共角
所以∠BCE=∠BMD
所以∠AGB=∠BMD
所以三角形BMG为等腰三角形
由三线合一得D为GM中点
得证