极值点不必连续，而拐点必须连续吗

Question

如题所述

Answer 1

拐点的定义里写了

摘自高等数学第七版上册  同济大学

所以拐点一定是连续的

对于极值点，定义中没有要求连续，只要在x0的某邻域内任意f(x)>=或<=f(x0)即可

Answer 2

回复 怡情小子 的帖子呵呵，lz有兴趣，我还是很高兴能和lz探讨下证明过程的那我们就从Fermat引理开始吧证：1、有Fermat引理可知，可导函数在x=x0点处取极值，则f ‘（x0）=0又导函数不存在第一类间断点，且f ‘（x0）=0，则存在X0某一邻域U(X0),使得f ’（x）在这一领域内连续因为函数在x=x0点处取极值，且f ’（x）在U(x0)这一领域内连续,所以f ’（x）在x=x0点左右异号所以f ’（x）在x=x0点处不是U(x0)这一领域内的极值但由拐点定义可知，若在x=x0取拐点，则f ’（x0）是f ’（x）在U(x0)领域的极值，这与上述矛盾故可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点2、同理，若在f（x）在x=x0取拐点，则f ’（x）在x=x0处取极值，f ’（x）在U(x0)领域内同号，所以f（x）在U(x0)领域是单调的，根据极值点定义，故x=x0点不是极值点综合一二，可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点，可导函数f（x）在x=x0点是拐点就不能成为极值点，故可导函数的极值点和拐点不可以在同一点取得。 证毕这里说明两个问题：1、在证明过程中，有用到“导函数不存在第一类间断点”、“ 若f ’（x）在U(x0)这一领域内连续，函数在x=x0点处取极值，则f ’（x）在x=x0点左右异号”这两个命题。在严格证明中，对于没有证明的命题应先证明然后才能使用。这两个命题是可以证明的，但限于篇幅，此处略去2、“函数的极值点和拐点不可以在同一点取得”是在“函数可导”的前提在证明的。但在”不可导“的情况下“函数的极值点和拐点是可以在同一点取得”的。本回答被网友采纳