用配方法化二次型:f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^3+2x1x2+2x2x3+2x1x3

Question

如题所述

Answer 1

x3的系数应该是2
f=2(x1+1/2x2+1/2x3)^2+3/2(x2+1/3x3)^2+4/3x^2
=2y1^2+3/2y2^2+4/3y3^2
为什么f≠(x1^2+2x1x2+x2^2)+(x1^2+2x1x3+x3^2)+(x2^2+2x2x3+x3^2)
≠(x1+x2)^2+(x1+x3)^2+(x2+x3)^2
记住配方法：将变量的平方项与混合项一次配成一个完全平方
前面的不等于的做法，只是配平方，完全不是配方法，是不对的
如例题所示首先是x1:2x1^2+2x1x2+2x1x3
要配成完全平方 肯定是2（x1+nx2+mx3）^2,同时要将混合项2x1x2+2x1x3包含在内，即n为 1/2，m为1/2
剩下的就是3/2x2^2+3/2x3^2+2x2x3
要配成完全平方 肯定是3/2(x2+zx3)^2,同时要将2x2x3包含在内，即z为1/3
剩下的就是4/3x3^2

Answer 2

是的,
y1和y2只是代表变量的符号,
比如也可以写成
3x^2+3y^2
关键是它们的系数必须分别取0,3,3
需要注意的是所用的变换
x
=
py,
要与最终结论对应起来.
若p的列向量分别属于特征值0,3,3
则结果就应该是3y2²+3y3²

Answer 3

应该是:f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3期中x3的次方数为2才对.
f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3
=(x1^2+2x1x2+x2^2)+(x1^2+2x1x3+x3^2)+(x2^2+2x2x3+x3^2)
=(x1+x2)^2+(x1+x3)^2+(x2+x3)^2追问

你好，答案写的标准型为
2y1+(3/2)y2+(4/3)y3
和你的答案的系数不一样，不唯一的是吗

追答

不是很明白你说的，可能是我理解有问题。

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