A,C是椭圆的右顶点和上顶点,在第一象限上求点P 使四边形OAPC的面积最大

Question

如题所述

Answer 1

设椭圆方程为:x^2/a^2 +y^2/B^2 =1 (1)
P(x,y).
则四边形OAPC的面积S=三角形APO的面积+ 三角形CPO的面积.
=0.5*(ay+bx)
即S=0.5(ay+bx) 约束条件为:方程式(1). 知S在直线 bx+ay=k (2)上取相同的值.
故:当(2)成为椭圆的切线时,S将取得最大值
椭圆在任意一点(x0,y0)处的切线方程为:xx0/a^2 +yy0/b^2 =1 (3)
令:(2)//(3), 即 令: b/[x0/a^2] = a/[y0/b^2] 即:ba^2/x0 = ab^2/y0
即:a/x0 = b/y0 或 y0=(b/a)x0.代入方程式 (1)
解得:2*(x0)^2 /a^2 =1,即: x0=[(根号2)/2]a, y0=[(根号2)/2]b
即: P( [(根号2)/2]a, [(根号2)/2]b )为所求.