定积分应用题 。求此曲线围成的面积r=4+4sinθ 怎么做呢?θ为多少呢?

如题所述

如果你无法从图中得到θ的范围,那么掌握下面的通用方法:
关键:极坐标系的极径r始终非负,即r≥0!!然后在一个周期内解出θ即可。
具体到你这个问题:
r=4+4sinθ ≥0,即 1+sinθ≥0,在[0,2π]内的解为 0≤θ≤2π,即为你给出的图片中的上下限。
当然,如果需要,可以选择其他的周期,例如[-π, π],这样也将得到一样的结果。
确定θ的范围后,代入面积微元:ds = 1/2*r^2dθ 即可得到定积分表达式,具体过程就是你图中的式子了。追问

在任何题目中r都是非负的吗?还是在特定情况下?因为我在另一道题中看到r是可以等于负的

周期长都是一定的吗?都是2pai?

追答

1、只要在极坐标系,极径都是大于等于0的,这是极坐标系的定义方法决定的。“另一道题中看到r是可以等于负”,确认这个r表示极径?是的话,不是你看错了,就是那道题错了。
2、是的,极坐标系是一个平面上,旋转一周当然是2π,只不过起点可以自定。

追问

追答

这两张图片和一开始的图片并不是同一个类型的极坐标系,一开始我说“只要在极坐标系,极径都是大于等于0的,这是极坐标系的定义方法决定的”指的是常规的极坐标系,其范围满足:r≥0,θ为0~2π的一个周期;而你后来图片定义的极坐标系:r为任意实数,0≤θ≤π,注意二者的区别。

我还是第一次见到这种“极坐标系”,它在数学上是成立的,但是不知其几何意义何在。你这是什么教材?

追问

懂了 谢谢

是新东方出的ap微积分教材

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