如果你无法从图中得到θ的范围，那么掌握下面的通用方法：
关键：极坐标系的极径r始终非负，即r≥0！！然后在一个周期内解出θ即可。
具体到你这个问题：
r=4+4sinθ ≥0，即 1+sinθ≥0，在[0,2π]内的解为 0≤θ≤2π，即为你给出的图片中的上下限。
当然，如果需要，可以选择其他的周期，例如[-π, π]，这样也将得到一样的结果。
确定θ的范围后，代入面积微元：ds = 1/2*r^2dθ 即可得到定积分表达式，具体过程就是你图中的式子了。追问
关键：极坐标系的极径r始终非负，即r≥0！！然后在一个周期内解出θ即可。
具体到你这个问题：
r=4+4sinθ ≥0，即 1+sinθ≥0，在[0,2π]内的解为 0≤θ≤2π，即为你给出的图片中的上下限。
当然，如果需要，可以选择其他的周期，例如[-π, π]，这样也将得到一样的结果。
确定θ的范围后，代入面积微元：ds = 1/2*r^2dθ 即可得到定积分表达式，具体过程就是你图中的式子了。追问
在任何题目中r都是非负的吗？还是在特定情况下？因为我在另一道题中看到r是可以等于负的
周期长都是一定的吗？都是2pai？
追答1、只要在极坐标系，极径都是大于等于0的，这是极坐标系的定义方法决定的。“另一道题中看到r是可以等于负”，确认这个r表示极径？是的话，不是你看错了，就是那道题错了。
2、是的，极坐标系是一个平面上，旋转一周当然是2π，只不过起点可以自定。
这两张图片和一开始的图片并不是同一个类型的极坐标系，一开始我说“只要在极坐标系，极径都是大于等于0的，这是极坐标系的定义方法决定的”指的是常规的极坐标系，其范围满足：r≥0，θ为0~2π的一个周期；而你后来图片定义的极坐标系：r为任意实数，0≤θ≤π，注意二者的区别。
我还是第一次见到这种“极坐标系”，它在数学上是成立的，但是不知其几何意义何在。你这是什么教材？
懂了 谢谢
是新东方出的ap微积分教材
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