设 {Xn} 为实数列，a 为定数.若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作，或Xn→a(n→∞)
读作"当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a".
若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列.
该定义常称为数列极限的 ε-N定义.
对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。
定理1:如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。
定理2:如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。
数列极限的运算法则如下：
前提条件：
各数列均有极限；
相加减时必须是有限个数列才能用法则。
极限的三大性质：
极限的唯一性、极限的有界性、极限的保序性。
极限的定义（描述性的）：
如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列的极限，可记做当n→+∞时，an→a。
an无限接近于a的方式有三种：
递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a；
递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a；
摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a。
严格定义：
即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列的极限。
“ xn 以 a 为极限”的几何解释：
将常数a及数列各项x1,x2,...,xn,...在数轴上找出相应的点，再在数轴上作开区间(aε,a+ε)。
当 n>N 时，满足 |xn−a|<ε ，亦即满足 a−ε<xn<a+ε 。也就是说从 N+1 开始，以后无穷多项都落在开区间 (a−ε,a+ε)内。