f(x)=acosx+bsinx x=0 分段函数在x=0处可导,求a,b .

Question

如题所述

Answer 1

首先,求a
由于：可导可微=>连续
所以：f(0-)=f(0)=f(0+)
a*1+b*0=f(0)=-1+e^0=0
推出,a=0
再求b
由0点附近sinx的Taylor展开式：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+o(x^7)
我们可以略去后面的高阶无穷小量o(x^7)
我们可以看出sinx和x是同阶的.即sinx在x->0时可以看作x.
由于在x=0处可导,那么它等价地说是左右导数相等.
即,f'(x+)=f'(x-)
f'(x+)=lim(e^(0+dx)-e^0)/dx=lim(e^dx-1)/dx
这是一个0/0型的极限,可用L'Hospital(落比达)法则,上下求导得
f'(x+)=lim(e^dx/1)=lim(e^dx)=1 .(dx->0)
f'(x-)=lim(e^0-1-0*cosdx-b*sindx)/dx
=lim(-b*sindx)/dx
由前面证得的：sinx->x(x->0)
我们得到：f'(x-)=lim(-b*dx/dx)=lim(-b)=-b
由于f'(x+)=f'(x-)
所以：-b=1,b=-1.