奇偶性是函数的基本性质之一。
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数。
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数。
中文名:奇偶性
外文名:parity
类 别:函数的性质
奇函数:关于原点成中心对称图形
偶函数:图象关于y的轴对称
用 途:判断函数单调性
定义
设函数f(x)的定义域D;
⑴如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
⑵如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
⑶如果对于函数定义域D内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。
变式:奇:f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x)=-f^2(x); f(x)/f(-x)=-1.
偶:f(x)-f(-x)=0; f(x)*f(-x)=f^2(x); f(x)/f(-x)=1.
图像特征
定理:奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴对称。
推论:如果对于任一个x,都有f(a+x)+f(b-x)=c,那么函数图像关于(a/2+b/2,c/2)中心对称;
如果对于任意一个x,有f(a+x)=f(a-x),那么函数图像关于x=a轴对称。
奇函数的图像关于原点对称
点(x,y)→(-x,-y)
偶函数的图像关于y轴对称
点(x,y)→(-x,y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递 [3] 增。
偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
运算
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