什么是拉格朗日插值公式？

Question

如题所述

Answer 1

插值型求积公式如下：

插值型求积公式的定义：给定 f(x) 的一组节点 a≤x0<x1<⋯<xn≤b ，通过拉格朗日插值，可以得到插值多项式：Ln(x)=∑i=0nf(xi)li(x)。

作为 f(x) 的近似，那么∫abf(x)dx≈∫abLn(x)dx=∫ab∑i=0nf(xi)li(x)dx=∑i=0nf(xi)∫abli(x)dx。

其中多项式函数 li(x) 的定积分是方便计算的，令 Ai=∫abli(x)dx ，那么称：In=∑i=0nAif(xi)为插值型求积公式。

插值型求积公式的余项为：

I−In=∫abfn+1(ξ)(n+1)!ωn+1(x)dx。

若 f(x) 是最高次数不大于 n 的多项式，那么插值积分公式的余项为 0 ，那么插值型积分公式至少具有 n 次代数精度。

求积公式的收敛性定义：

若机械求积公式满足：limn→∞h→0∑k=0nAkf(xk)=∫abf(x)dx。其中， h=max{xi−xi−1} ，则称该求积公式是收敛的。

在计算函数值 f(xk) 时，可能产生误差，实际得到的是 f~k ，也即 f(xk)=f~k+δk ，下面介绍求积公式的稳定性。

求积公式的稳定性：对任给 ε>0 ，若 ∃δ>0 ，只要 |f(xk)−f~k|≤δ ，就有：|∑k=0nAk[f(xk)−f~k]|≤ε成立，则称求积公式 ∑k=0nAkf(xk) 是稳定的。

定理：若求积公式中系数 Ak>0 ，则此求积公式是稳定的。