已知f(x)的定义域为R，对任意x.y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(y)＜0，f(1)=-2。

Question

已知f(x)的定义域为R，对任意x.y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(y)＜0，f(1)=-2。
1.求证函数f（x）是奇函数 2.证明：f（x）在[-3,3]上是减函数 3.求f（x）在[-3,3]上的最值
麻烦过程详细点，不然看不懂……

Answer 1

解：（1）令x=y=0,则f(0)=2f(0),即f(0)=0;
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0，即f(x)=-f(-x)
故f(x)是奇函数；
（2）x1,x2∈[-3,3]，令x2>x1,x2-x1>0
因为f(x)是奇函数，所以f(-x1)=-f(x1)
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
因为x＞0时，f(x)＜0
f(x2)-f(x1)>0即f(x2)<f(x1)
所以f（x）在[-3,3]上是减函数；
（3）∵f(1+1)=f(1)+f(1), f(1)=-2，则f(2)=2f(1)=-4;
f(1+2)=f(1)+f(2), 则f(3)=-6;
因为f(x)是奇函数,则f(-3)=-f(3)=6;
因为f（x）在[-3,3]上是减函数；
故f(3)=-6是f（x）在[-3,3]上的最小值；
故f(-3)=6是f（x）在[-3,3]上的最大值；

够详细了吧！

Answer 2

1、令X=Y=0可得f(0)=2f(0),则f(0)=0
再令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)=0由x的任意性可知f(x)是奇函数
2、任取x1>x2，则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)又x1-x2>0,所以
f(x1-x2)<0，即f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在R上是减函数，所以f（x）在[-3,3]上是减函数
3、f(x)的最大值为f(-3)，f(x)的最小值为f(3)
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6,所以f(-3)=-f(3)=6
故最小值为-6，最大值为6

像这道题目中的f(x)我们一般称为抽象函数

Answer 3

F（X）+F（Y）=F（X+Y）
取x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x)
所以是奇函数
2 设-3<=x1<x2<=.x2-x1>0,f(x2-x1)<0
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1)
所以在[-3,3]上是单调递减的

3 f(1)=-2.f(2)=f(1)+f(1)=-4
f(3)=f(1)+f(2)=-6
由2知，f(x)是递减的，
所以最小值f(3)=-6,最大值f(-3)=6

Answer 4

在图片中