如图，在三角形ABC中AB等于BC，BE垂直AC于点E，AD垂直BC于点D，角BAD等于45度，A

Question

如图，在三角形ABC中AB等于BC，BE垂直AC于点E，AD垂直BC于点D，角BAD等于45度，AD与BE交于点F，连接CF。(1)求证:BF等于2AE;(2)若CD等于根号二，求AD的长。

Answer 1

⑴证明：∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE=1/2AC，∠DBF=∠ACD=90°，
∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∵∠ABC=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，
∴ΔDBF≌ΔDAC(ASA)，
∴BF=AC=2AE。
⑵由全等得：DF=DC=√2，∴CF=√2CD=2，
∵EF⊥AC，AE=CE，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+√2。

Answer 2

⑴证明：∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE=1/2AC，∠DBF=∠ACD=90°，
∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∵∠ABC=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，
∴ΔDBF≌ΔDAC(ASA)，
∴BF=AC=2AE。
⑵由全等得：DF=DC=√2，∴CF=√2CD=2，
∵EF⊥AC，AE=CE，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+√2。谢谢了

Answer 3

⑴证明：∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE=1/2AC，∠DBF=∠ACD=90°，
∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∵∠ABC=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，
∴ΔDBF≌ΔDAC(ASA)，
∴BF=AC=2AE。
⑵由全等得：DF=DC=√2，∴CF=√2CD=2，
∵EF⊥AC，AE=CE，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+√2。