如何对数学习题进行一题多变

Question

如题所述

Answer 1

变式其实就是创新。当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。 一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。 从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。 通过对式子的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。 二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。 数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。 通过变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。 三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。 （一）多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。 许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。 （二）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。 一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。 （三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。 通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。 伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。 譬如书本上有这样一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。教师可以不失时机地进行变式，调动起学生的思维兴趣。变式（1）顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式（2）顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式（3）顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习，教师还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。 又如应用题教学是初中教学中的一个难点，在教学中就可以把同类型的题目通过变式的方式展现给学生，把学生的思维逐步引向深刻。 例如在讲解一元一次方程的实践和探究这节课时，教师从奥运冠军孟关良训练为题材编了一题关于追及问题的应用题，一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？然后教师可对本例作以下变式。 变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒） 变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题 现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发 （1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。 （2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。 （3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。 这题该为平时学生熟悉的操场环形跑道，这里三题也是一组变式题，（1）、（2）是同时同地出发的相遇和追及问题，（3）是不同时出发相遇和追及问题，这题还蕴涵着分类讨论的思想。 变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？ 这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。 （三）一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力。 牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。 教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。 总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

Answer 2

数学题是做不完的，想要学好数学，必须提高数学思维能力！
通过一题多变和一题多解的变式训练，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性。
首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。数学题“源于课本，高于课本”，这是历年高考数学试卷命题所遵循的基本原则。在数学教学过程中，通过利用所有有用的条件，进行观察、联想、对比，采取“一题多解与一题多变”的形式进行教学，使学生们更积极主动地参与到课堂中来，这不仅能使学生的思维定势得到改观，还能极大程度地激发学生对数学学习的兴趣以及建立自信心，可以使所学的知识得到灵活运用，开阔思路，这对培养学生思维的广阔性、探索性、深刻性、独创性、灵活性无疑是一条非常有效的捷径。此外，能力提高的过程中，学生的成就感也就自然而然地增强，并且在不断的变化和解决问题的诸多途径中，学习兴趣会越来越浓。
随着素质教育的层层深入，培养学生分析问题、解决问题的能力显得尤为重要。而能力的提高必须依靠重要方式方法，“一题多解与一题多变”可以很好地培养学生的思维与解题能力，起到巩固、深化、拓宽、综合应用的作用。一题多解是从不同的方位、不同的角度去审视分析问题，是一种发散思维。而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设、结论的变化及引申新问题让学生对知识的理解更深刻。在教学中,使用一题多解与一题多变的形式,不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力，收到“讲好一题，带活一片”的效果。
在复习训练阶段，根据教学目的和学生的实际情况，精心选择、加工和编写“一题多变”、“一题多解”的习题，进行复习训练，不仅能调动学生的复习兴趣，发挥学生作为复习主体的功能，提高复习效率和效果，而且能培养学生联想迁移、概括总结和发散思维等能力。只有对数学方法融会贯通时，才能有新看法、巧妙解法。
“一题多变和一题多解”可以提高学生的数学学习效率。一道数学练习题，因为思考问题的角度不同而得到多种的思路，广泛寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题联想、类比到推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论。积极开展多种变式题的求解，有助于学生应变能力的养成，培养学生的发散思维，增强学生面对新问题敢于联想分析敢于创新，最后快速解决数学问题。