一道线性代数的题目A是一个M X N型的矩阵，B 是一个n阶矩阵，若B的秩为N 那么AB的秩为什麽？

Question

如题所述

Answer 1

AB的秩就是A的秩。
证明：
法一：
用秩的不等式，
r(A)+r(B)-N <= r(AB)..........<1>
r(AB) <= min{r(A),r(B)}.......<2>

由<1>得：r(A)+N-N <= r(AB)，r(AB) >= r(A)
由<2>得：r(AB) <= r(A)
所以r(AB) = r(A)

法二：
由于B满秩，所以B可以看成若干个初等矩阵的乘积，B=P1*P2*...*Pk
此时AB=A*P1*P2*...*Pk
A每次右乘一个初等矩阵Pi,相当于对A做一次初等列变换。我们知道，初等变换是不会改变矩阵的秩的，所以r(AB)=r(A).

Answer 2

小于等于N