a的行列式=-1,则-1是a的特征值 a的行列式=-1,则-1是a的特征值 怎么证明

Question

还有若n为奇数且a的行列式=1证1是a的特征值，谢谢了
忘了说了a是n阶正交矩阵

Answer 1

正交矩阵就对了。
（1）由于A是正交阵， (A^T)*A=A*(A^T)=E
其中上标T表示转置，E表示单位阵。

那么：
A+E = A+A*(A^T) = A(E+A^T)...............<1>
对上式两边取行列式：
|A+E| = |A(E+A^T)| = |A|*|E+A^T| = -|E+A^T|................<2>
由于|E+A^T| = |[(E^T)+A]^T| = |E+A|..................<3>
将<3>代入<2>：
|A+E| = -|A+E|
所以|A+E|=0，即|A-(-1)E|=0，那么-1是A的特征值。

（2）解法跟（1）是一样的，（1）会了的话，（2）也应该会了。

由于A是正交阵， (A^T)*A=A*(A^T)=E
其中上标T表示转置，I表示单位阵。

那么：
A-E = A-A*(A^T) = A(E-A^T)...............<1>
对上式两边取行列式：
|A-E| = |A(E-A^T)| = |A|*|E-A^T| = |E-A^T|................<2>
由于|E-A^T| = |[(E^T)-A]^T| = |E-A|..................<3>
将<3>代入<2>：
|A-E| = |E-A|..................<4>
又由于n为奇数，所以|E-A| = -|A-E|.................<5>
将<5>代入<4>：
所以|A-E|=0，即|A-1*E|=0，那么1是A的特征值。