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导数(derivative)亦名微商,由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置x与时间t的关系为x=f(t),那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0],当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度。一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义,当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f′,称之为f的导函数,简称为导数。函数y=f(x)在x0点的导数f′(x0)的几何意义:表示曲线l 在P0〔x0,f(x0)〕 点的切线斜率。
导数是微积分中的重要概念。导数定义为,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
区别 虽然在计算上 二者可以近似相等 但数学意义是不同的 导数又叫做微分商 顾名思意 它是两个微分相除。可以理解为 曲线的变化率 而微分则可以理解为曲线的变化量 一个是率 一个是在面积上的积累量 所以不同 数学是严谨的学科 既然是不同的名词 就一定有不同的意义
对于一元函数y=f(x)而言,导数和微分没什么差别。导数的几何意义是曲线y=f(x)的瞬时变化率,即切线斜率。微分是指函数因变量的增量和自变量增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x),这里可以把自变量x看成是关于自身的函数y=x,那么△x=△y,所以微分另一种说法叫微商,dy/dx是两个变量的比值。一般来说,dy/dx=y'。
对于多元函数,如二元函数z=f(x,y)而言,导数变成了关于某个变量的偏导数。此时,微分符号dz/dx是个整体,不能拆开理解。而且,有个重要区别,可导不一定可微。即可导是可微的必要非充分条件。但是,有定理,若偏导数连续则函数可微。具体看全微分与偏导数有关章节.
参考资料:http://baike.baidu.com/view/30958.html