1+x=t^2 , x=t^2-1 , dx=2tdt
2dt/(t^2-1)积分=[1/(t-1)-1/(t+1)]dt积分
=ln|t-1|-ln|t+1|+c
=ln|(t-1)/(t+1)+c
=ln|(t^2-2t+1)/(t^2-1)|+c
=ln|[2+x-2√(1+x)]/x|+c
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
例如计算不定积分∫x²3√1-xdx
解：
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
原式=3∫x²√1-x
令√1-x=t
x=1-t²
dx=-2tdt
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
原式=3∫（1-t²）²t(-2t)dt
=3∫（-2t²+4t^4-2t^6）dt
=-6∫t²dt+12∫t^4dt-6∫t^6dt
=-2t^3+12/5t^5-6/7t^7+c
=-2√(1-x)^3+12/5√(1-x)^5-6/7√(1-x)^7+c。
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
再如本题不定积分计算过程如下：
∫（1-3x）^6dx
=(-1/3)∫(1-3x)^6d(1-3x)
=-1/3*(1-3x)^7*(1/7)+C
=-1/21*（1-3x）^7+C。
不定积分概念
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
请点击输入图片描述
请点击输入图片描述
不定积分计算方法
不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。
需要注意的是不是所有函数都能积分出来，同时各种方法可以用其一也可以多种方法综合应用。