过3点A（2，-1，4）B(-1,3,-2)C(0,2,3) 求平面方程，用代入3点法，那个方程组怎么解，麻烦详细点

Question

过3点A（2，-1，4）B(-1,3,-2)C(0,2,3) 求平面方程，用代入3点法，那个方程组怎么解，麻烦详细点
向量积 不会 能讲详细点吗

Answer 1

设平面方程为:Ax+By+Cz+D=0,(A、B、C不能同时为0）。
用待定系数法求平面方程，就和三点定圆的方法一样，你可能觉得有4个未知量，无从下手，其实应是3个未知量，两边同除以D，就应成了三个未知量了，或者，A、B、C同时用D表示（当然D不等于0），最后同时约掉D，就求出平面方程。
2A-B+4C+D=0.....(1), -A+3B-2C+D=0......(2),2B+3C+D=0........(3),
(2)*2+(1)消去A，5B+3D=0，B=-3D/5，代入（3）， C=D/15,
代入（1）A=-14D/15，所求平面方程为：-14Dx/15-3Dy/5+DZ/15+D=0,化简得：
14x+9y-z-15=0 。
用向量法，向量AB={-3，4，-6}，向量AC={-2，3，-1}，AB×AC={14，9，-1},这是平面法向量，A（2，-1，4）∈平面，
平面方程为：14（x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,
化简得：14x+9y-z-15=0.与上结果相同。

Answer 2

可以用向量积计算，得到法相量14，-9，-1
14(x-2)-9(y+1)-(z-4)=0

向量积 c=a×b=|a| |b|sinθ
c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a转向b来确定.
a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成
|i j k|
|ax ay az|
|bx by bz|